Introduction to Quadratic Forms (Classics in Mathematics) by Timothy O. O'Meara
그동안은 Number Theory 여러 분야 중에서 Quadratic Forms와 이에 관련된 Arithmetic을 공부하고자 하는 이들에게 입문서가 마땅치 않았다. 보통은 O'meara 선생님께서 1963년에 쓰신 Introduction to quadratic forms 가 거의 독보적인 입문서였는데, 그도 그럴 것이 Local fields에서의 arithemetic에 관해서는 이 책과 1968년에 쓰신 일련의 논문으로 해결이 났던 터이다.
이 책에 관해 몇가지...
1. 내용은 이 책 만한 것이 없다는 것이고,
2. 이 책의 구조가 성서와 아주 흡사하나는 것이다. 그래서 나같이 arithmetic 공부하는 사람들은 이 책을 인용하여 말할 때 [O'meara 63:21] 을 오메아라 63장 21절 말씀에 의하면.... 이라고 표현한다. 실제로 이 번호만 보아도 이 정리가 대충 뭐에 관한 정리인 지도 아는데, 63장 21절 말씀은 아주 중요한 말씀. Catholic 학교로 유명한 Notre Dame 대학의 총장까지 지내셨던 분이라 약간 수긍이 가는 측면도 있다.
3. 이 책이 쓰여질 당시는 오메라 선생님께서 (적지 않은 수의) 어린 자녀들을 돌보셔야 하셔서 보통은 아이들이 뛰어노는 부엌 식탁의 한 모퉁이에서 쓰셨다는 전설을 들은 적이 있다. 책을 보면 알겠지만 이 책에는 아주 복잡하고 섬세한 계산이 되어 있고, 매우매우 다양하고 특이한 기호가 많이 등장하는 것을 확인한다면 매우 놀랄 것이다. 나도 이 이야기를 학문적 큰아버지이신 Andrew Earnest 선생님께 처음 듣고는 매우 놀랐던 기억이 난다.
4. 무엇보다는 책의 내용에 대비되어 여백과 기호의 문제로 가독성이 떨어진다는 것 (심지어는 chapter가 끝나도 여백 없이 바로 시작한다. )
그러던 중 이번에 책이 하나 새로 나온다. O'meara 선생님의 제자이신 Larry J. Gerstein 선생님께서 쓰신 Basic Quadraic Forms 이다. 얼마 전에 칠레에서 열린 학회에서 책의 preprint 를 보여 주시면서 마지막으로 오탈자를 보고 계시는 중이라고 말씀하셨는데 곧 나올 거라고 하시더니 정말 나오나 보다. 출판 예정일은 2008년 5월 2일이다. Preprint 를 대강 훝어본 바로는 가독성 좋고, O'meara 선생님의 책에는 없는 예제와 연습문제가 많아서 정말 입문서로서는 딱이라는 느낌을 받았었다. 뒷 부분에는 cryptography 의 응용도 소개되고 있는데 특히 LLL-Reduction, Lattice-based Cryptosystems를 소개하고 있다. 혹 나에게 arithmetic 을 공부하는 입문서를 추천하라면 이 책을 추천할 것 같다. 책이 나오면 사서 볼 요량도 있다.
오늘 성당에 갔다가 손님 신부님이 강론하신 것이 너무 기억에 남아서 몇 자 적어두려 한다.
+ 요한이 전한 거룩한 복음입니다. 11,1-45
그때에 <1 어떤 이가 병을 앓고 있었는데, 그는 마리아와 그 언니 마르타가 사는 베타니아 마을의 라자로였다. 2 마리아는 주님께 향유를 붓고 자기 머리카락으로 그분의 발을 닦아 드린 여자인데, 그의 오빠 라자로가 병을 앓고 있었던 것이다. 3 그리하여> 마리아와 마르타는 예수님께 사람을 보내어, “주님, 주님께서 사랑하시는 이가 병을 앓고 있습니다.” 하고 말하였다. 4 예수님께서 그 말을 듣고 이르셨다. “그 병은 죽을 병이 아니라 오히려 하느님의 영광을 위한 것이다. 그 병으로 말미암아 하느님의 아들이 영광스럽게 될 것이다.” 5 예수님께서는 마르타와 그 여동생과 라자로를 사랑하셨다. 6 그러나 라자로가 병을 앓고 있다는 말을 들으시고도, 계시던 곳에 이틀을 더 머무르셨다. 7 예수님께서는 그런 뒤에야 제자들에게, “다시 유다로 가자.” 하고 말씀하셨다. <8 제자들이 예수님께, “스승님, 바로 얼마 전에 유다인들이 스승님께 돌을 던지려고 하였는데, 다시 그리로 가시렵니까?” 하자, 9 예수님께서 대답하셨다. “낮은 열두 시간이나 되지 않느냐? 사람이 낮에 걸어 다니면 이 세상의 빛을 보므로 어디에 걸려 넘어지지 않는다. 10 그러나 밤에 걸어 다니면 그 사람 안에 빛이 없으므로 걸려 넘어진다.” 11 이렇게 말씀하신 다음에 이어서, “우리의 친구 라자로가 잠들었다. 내가 가서 그를 깨우겠다.” 하고 그들에게 말씀하셨다. 12 그러자 제자들이 예수님께, “주님, 그가 잠들었다면 곧 일어나겠지요.” 하였다. 13 예수님께서는 라자로가 죽었다고 하셨는데, 제자들은 그냥 잠을 잔다고 말씀하시는 것으로 생각하였다. 14 그제야 예수님께서 그들에게 분명히 이르셨다. “라자로는 죽었다. 15 내가 거기에 없었으므로 너희가 믿게 될 터이니, 나는 너희 때문에 기쁘다. 이제 라자로에게 가자.” 16 그러자 ‘쌍둥이’라고 불리는 토마스가 동료 제자들에게, “우리도 스승님과 함께 죽으러 갑시다.” 하고 말하였다.> 17 예수님께서 가서 보시니, 라자로가 무덤에 묻힌 지 벌써 나흘이나 지나 있었다. <18 베타니아는 예루살렘에서 열다섯 스타디온쯤 되는 가까운 곳이어서, 19 많은 유다인이 마르타와 마리아를 그 오빠 일 때문에 위로하러 와 있었다.> 20 마르타는 예수님께서 오신다는 말을 듣고 그분을 맞으러 나가고, 마리아는 그냥 집에 앉아 있었다. 21 마르타가 예수님께 말하였다. “주님, 주님께서 여기에 계셨더라면 제 오빠가 죽지 않았을 것입니다. 22 그러나 하느님께서는 주님께서 청하시는 것은 무엇이나 들어주신다는 것을 저는 지금도 알고 있습니다.” 23 예수님께서 마르타에게, “네 오빠는 다시 살아날 것이다.” 하시니, 24 마르타가 “마지막 날 부활 때에 오빠도 다시 살아나리라는 것을 알고 있습니다.” 하였다. 25 그러자 예수님께서 그에게 이르셨다. “나는 부활이요 생명이다. 나를 믿는 사람은 죽더라도 살고, 26 또 살아서 나를 믿는 모든 사람은 영원히 죽지 않을 것이다. 너는 이것을 믿느냐?” 27 마르타가 대답하였다. “예, 주님! 저는 주님께서 이 세상에 오시기로 되어 있는 메시아시며 하느님의 아드님이심을 믿습니다.” <28 이렇게 말하고 나서 마르타는 돌아가 자기 동생 마리아를 불러, “스승님께서 오셨는데 너를 부르신다.” 하고 가만히 말하였다. 29 마리아는 이 말을 듣고 얼른 일어나 예수님께 갔다. 30 예수님께서는 마을로 들어가지 않으시고, 마르타가 당신을 맞으러 나왔던 곳에 그냥 계셨다. 31 마리아와 함께 집에 있으면서 그를 위로하던 유다인들은, 마리아가 급히 일어나 나가는 것을 보고 그를 따라갔다. 무덤에 가서 울려는 줄 알았던 것이다. 32 마리아는 예수님께서 계신 곳으로 가서 그분을 뵙고 그 발 앞에 엎드려, “주님, 주님께서 여기에 계셨더라면 제 오빠가 죽지 않았을 것입니다.” 하고 말하였다. 33 마리아도 울고 또 그와 함께 온 유다인들도 우는 것을 보신> 예수님께서는 마음이 북받치고 산란해지셨다. 34 예수님께서 “그를 어디에 묻었느냐?” 하고 물으시니, 그들이 “주님, 와서 보십시오.” 하고 대답하였다. 35 예수님께서는 눈물을 흘리셨다. 36 그러자 유다인들이 “보시오, 저분이 라자로를 얼마나 사랑하셨는지!” 하고 말하였다. 37 그러나 그들 가운데 몇몇은, “눈먼 사람의 눈을 뜨게 해 주신 저분이 이 사람을 죽지 않게 해 주실 수는 없었는가?” 하였다. 38 예수님께서는 다시 속이 북받치시어 무덤으로 가셨다. 무덤은 동굴인데 그 입구에 돌이 놓여 있었다. 39 예수님께서 “돌을 치워라.” 하시니, 죽은 사람의 누이 마르타가 “주님, 죽은 지 나흘이나 되어 벌써 냄새가 납니다.” 하였다. 40 예수님께서 마르타에게 말씀하셨다. “네가 믿으면 하느님의 영광을 보리라고 내가 말하지 않았느냐?” 41 그러자 사람들이 돌을 치웠다. 예수님께서는 하늘을 우러러보시며 말씀하셨다. “아버지, 제 말씀을 들어 주셨으니 아버지께 감사드립니다. 42 아버지께서 언제나 제 말씀을 들어 주신다는 것을 저는 알고 있습니다. 그러나 이렇게 말씀드린 것은, 여기 둘러선 군중이 아버지께서 저를 보내셨다는 것을 믿게 하려는 것입니다.” 43 예수님께서는 이렇게 말씀하시고 나서 큰 소리로 외치셨다. “라자로야, 이리 나와라.” 44 그러자 죽었던 이가 손과 발은 천으로 감기고 얼굴은 수건으로 감싸인 채 나왔다. 예수님께서 사람들에게, “그를 풀어 주어 걸어가게 하여라.” 하고 말씀하셨다. 45 마리아에게 갔다가 예수님께서 하신 일을 본 유다인들 가운데에서 많은 사람이 예수님을 믿게 되었다. 주님의 말씀입니다. ◎ 그리스도님 찬미합니다.
오늘의 말씀의 대부분은 예수님께서 행하신 7가지 기적 중 하나인 믿음이 죽은 라자로도 살렸던 것.
신부님의 강론은
여러분은 믿음의 반대 의미가 무엇이라고 생각하십니까? 불신이라도 생각하십니까? 아닙니다. 편견입니다. 무엇이든 주님 안에서 할 수 있다는 믿음을 가지고 끊임없이 노력한다면 주님이 안 들어주시겠습니까? 죽은 라자로도 살리신 예수님이십니다. 하지만 할 수 있다는 믿음이 없다면 할 수 없다는 편견에 빠져 정말로 아무런 노력조차 하지 않고 아무것도 이룰 수 없습니다. 아무리 어려운 수학 문제를 풀더라고 지금은 당장 안 풀리는 것이라고 풀릴 것이라는 믿음을 가지고 끊임없이 노력하고 바닷가에 앉아있는 어린 아이와 같은 겸손된 마음으로 살아간다면 안 풀릴 문제는 없을 것입니다. ( 사실 수학 문제를 푸는 것에 비유하시는 것에 깜짝, 아이슈타인의 이야기를 인용하시는 것에 또 깜짝...) 내가 글재주가 없어서 잘 전달은 못하겠지만 ....
노력도 안 하고 포기하기보단 주님을 믿고 의탁하며 열심히 노력하자. 아자아자...
그러고 보니 다음주면 벌써 부활절이다. 올해는 유난히 부활절이 빨리 돌아온 느낌이 들기도 하고...
어제 눈발이 날리더니 오늘은 완전히 봄날씨다. 바람이 아직은 쌀쌀하긴 하지만 솔솔 풍겨오는 봄내음은 막지 못하는 것 같다. 캠퍼스안 잔디밭을 걸어보니 말랑말랑 한 것이 이 녀석들도 새싹 틔울 준비를 하는 것 같다.
사실 나도 봄바람 났다. 주위에 파릇한 신입생이 많아서 그런지 괜히 '나이먹는 것도 서러운데' 라는 생각도 들고해서... 큰 맘 먹고 치마를 꺼내 입었다. 오늘 강의가 있기도 하니 핑계도 좋잖아? 아는 사람은 알겠지만 내 평소 차림새는 청바지에 티셔츠. 진짜 학생과 구분안되는 옷차림이 학생들에게 미안하기도 하고 해서....하여간 치마를 꺼내 입었다.
오늘 신입생들 입학식이 있었는데 제 강의도 있었습니다. 출석을 불러보니 한 강의는 50명, 다른 하나는 50명 + 10명 정도 더 들어왔더군요. 이번 학기 저의 목소리는 살아남지 못 할 듯합니다. 무엇보다 학생들 구성을 보니 더 큰일입니다. 외국인 학생들과 교포 학생들이 제법 많습니다. 개중엔 한국말도 서투른데 영어를 못하는 외국인 학생도 있습니다. 오늘 당장 "나눈다" 가 무슨 뜻이냐고 물어보더군요. 영어, 한자, 한국말 왔다갔다 하면서 설명하긴 했지만 걱정이 앞섭니다.
제가 경험하고 경험할 외국에서 온 학생들은;
1. 미국이나 유럽에서 온 영어를 잘 하고 한국말이 서투른 학생 - 제 경험상 수학 실력도 한국 학생에 많이 뒤지지 않고 수업에 적극적이라 큰 걱정없습니다. 무엇보다 적극적인 태도가 중요하니까요. 처음에야 고생을 좀 하겠지만 대부분 잘 적응해 냅니다.
2. 중동에서 온 학생 - 이번이 처음이라 잘 모르겠지만 한국말을 제법 하는 것 같습니다. 수학 실력은 두고 봐야 할 것 같습니다.
3. 중국에서 온 학생 - 이번 학기에도 많은 수의 학생들이 중국에서 왔는데 한국말을 잘 못하는데다 영어도 잘 못하는 경우가 많습니다. 영어가 만국 공통어는 아니지만 제가 조금이나마 할 수 있는 언어가 영어와 한국어가 전부이기 때문에 이런 이야기를 합니다. 더 큰 문제는 중국에서 온 학생들은 교과 과정이 한국과 많이 다른지 대부분은 한국 학생들과 배경 지식이 많이 차이가 납니다. 학생들마다 편차는 있지만 삼각함수도 안 배웠다고 하는 경우도 있거든요. 자연수는 0부터라고 말하고요. 어떻게 입학을 했을까 싶지만 입학 전형이 여러 가지이니 한국에서 힘들게 공부한 학생들은 억울하겠지만 가능한 일입니다. 이 학생들과 소통을 해야 할 것이 정말 걱정이 됩니다.
4. 모국어가 한국어인 학생들 - 알아서들 다 잘합니다. ;;;;;;;
외국에서야 여러 나라에서 학생들이 모이는 것이 이상한 일이 아닐테고 이들을 도와주는 이들도 많을 것이라 믿어 의심치 않습니다. 한국에 있는 대학에 다니는 한국말 잘 못하는 외국인 학생.... 고생할 것이 눈에 훤합니다. 큰 힘은 안 되겠지만 말이라고 천천히 또박또박 하려고 노력이라도 해야 겠습니다.
오늘 학교가 개강을 했습니다. 파릇파릇한 신입생들이 캠퍼스 안에 돌아다닙니다. 얼굴엔 "신입생" 하고 써 붙이진 않았지만 딱 보면 신입생 맞습니다. 나름 예쁘게 멋있게 차려 입었지만 공부하기 힘들게 예쁘게 격식차려 옷을 입은 것을 보면 딱 신입생입니다. 지금이야 저렇게 옷을 입지만 한달만 지나면 전공책의 무게에 청바지에 티셔츠 입고 떡진 머리 감추려 모자 푹 눌어쓸테고. 특히나 숙제와 실험 시험에 찌들게 될 이공계 학생들은 더 빨리 변하게 되지 싶습니다. 언제나 처럼....
다음은 오늘 어쩌다가 알게 된 것인데, 문제는.... 4. http://www.hybrid.pe.kr/tt/321 Tistory에서 plugin 을 설정하는 것. 꾀나 유용할 듯 한데 플러그인을 다운받아서 설정하라는데 모르겠다. 누가 설명 좀... 설정을 하면 따로 수식을 만들어 그림 파일로 저장하는 불편함이 없어질 것 같다. 그런데? 어떻게? 트랙백을 달고 싶은데 안 되네.... 답글도 안 써지고...