一筆揮之

원래 풀던 태산같은 문제를 잠시 잊으려 긴긴 겨울밤을 짧은 문제를 벗삼아 지냈더니 一筆揮之로 다 풀리더라....
까지는 어제 밤 이야기고, 아침에 일어나 다시보니 큰 일이로세... 커다란 구멍이 있구요.
애닳은 내 가슴... 보일 듯 말듯 한 저 마지막 실마리여....

최근 내 주 연구는 Imaginary quadratic fields 위에서의 lattice 연구이다.
1. universal lattices를 classification하는 것을 끝냈고
2. 다음 project로 regular lattice를 classification 하는 것인데,
   1) 이 문제의 여러 경우 중 odd lattice를 끝냈고
   2) even lattice의 경우를 풀고 있었고,
   3) 유리수체 위에서는 생기지 않은 특수한 경우가 생긴다는 것을 알게 되었는데....
3. 이를 기반으로 class number를 계산하고자 하는 것이 최종 목표

사실 2. 2)에서 잠시 버벅거리다 짧은 acticle로서 $\mathbb{Q}(\sqrt{3}))$의 ring of integer의 원소들을 sum of distinct squares 로 쓸 수 있는 지 잠시 생각하다 풀릴 것 같아 어제 하루밤을 투자하여 계산 한 것이데, 지금은 조금 구멍이 있지만 곧 메울 수 있을 것이라는 쓸 데 없지 않은 희망을 가져본다.

내가 ramanujan 같은 천재도 아니구... 하루밤에 논문 하나를 쓴다는 것은 말도 안 되지... 토닥토닥...
너무 힘들게 문제를 풀다가 잠시 머리도 쉴겸 다른 문제를 푸는 것도 나쁘지 않은 것 같다는...
그런데 오늘은 2006년의 마지막 달의 시작이구만... 세월 빠르다.

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sum of distinct squares problem 이란...

예를 들어 2는 square들의 합으로 표현한다면 1+1 밖에 없는데 이것은 1이 중복된 것이다. 하지만 5 = 1^2 + 2^2 와 같이 서로 다른 suaree들의 합으로 쓸 수 있는데,  정수환에서는

2, 3, 6, 7, 8, 11, 12, 15, 18, 19, 22, 23, 24, 27, 28, 31, 32,
33, 43, 44, 47, 48, 60, 67, 72, 76, 92, 96, 108, 112, 128

을 제외하고는 모든 sum of dinstinct squares로 표현할 수 있다.

하지만 $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$에서는 $3 = (\sqrt{3})^2$ 와 같이 변화하고, ring of integer에서 생각해야 하므로 조금 더 생각을 해야 한다는 것이다.