290-Theorem

내 전공이 Number Theory (정수론) 이고, 그 중에서도 Quadratic Forms and lattices (이차 형식과 격자 이론) 이라고, 혹 관심이 있으신 분들을 아실 것이다. 그 중에서 재미있는 정리가 하나 있는데 그것이 바로 Conway- Schneeberger의 15-Theorem!

15-Theorem 이라는 것은 Classical Quadratic Form (고전적인 이차형식)이 모든 자연수를 표현하는지를 알기 위해서는 무한한 자연수 집합을 다 표현하는지를 검사하지 않아도 되고 대신 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15 만 확인하면 된다는 것이다.

처음 듣는 사람들은 놀라워 하기도 하고 신기해 하기도 하지만 사실 나와 비슷한 공부를 하는 사람들은 그 증명을 보고서는 발상의 전환이 얼마나 큰 힘인지를 알게 되는 그런 정리이다.  증명 자체가 그리 어렵거나 커다란 이론을 써야 하는 것이 아니기에... 

고전적인 이차형식의 15-Theorem에 대응해서 Nonclassical Quadratic Form (비고전적인 이차형식)에서는 290-Conjecture 라는 것이 있다. 예상하듯이 비고전적 이차형식이 1, 2, 3, ... , 290 까지만 표현하는지를 확인하면 모든 양의 정수를 표현한다는 것이었는데, 다들 사실이라고 믿으면서도 섣듯 증명할 생각을 하지 못하고 있었다. 해야할 엄청난 계산량의 압박으로 말이다. Conway-Schneeberger의 증명을 나중에 Bhargava가 간단하고 명료하게 다시 정리했고, 그러면서 290-Conjecture를 증명하겠다고 했었다. 그런데 Bhargava가 증명했다고 한다.

이에 관한 뉴스
 All Square: Science News Online, March 11, 2006

"Universal quadratic forms and the 290-Theorem" resource page
http://www.math.duke.edu/~jonhanke/290/Universal-290.html

보통 이런 종류의 좋은 소식(?)을 들으면서, 어느 누구는 참... 가슴아프겠구면.....하는 말을 아무 생각없이 내뱉곤 했었다. 그런데 이번엔 그 어느 누구가 내가  될 줄이야.... 최근 마무리 단계에 있는 논문과 관련이 있다는 것 정도로 밝혀둔다. 자세히 알고 싶은 분은.... 직접 물어보시길... 조금 시간이 흐른 후에... 참고로....아니다.... 이건 나중에 일이 끝난 다음에 하자. 할 말은 많지만 속으로 삭여야 한다.